Una idea general

¿Qué es el Triángulo de Pascal?

   Triángulo de Pascal (con números). 

   
Podemos definirlo como una disposición de números con forma de triángulo, construida de tal manera que cada elemento es la suma de los dos inmediatamente superiores a él, y donde inicialmente se coloca el número 1 en los lados exteriores.


Teniendo en cuenta la definición podemos construir el triángulo de la siguiente manera:

Para ponernos en contexto

Historia

Las primeras descripciones de este triángulo datan del 1100 d.C., durante la Edad Media Oriental, con matemáticos chinos que posiblemente se basaron en fuentes indias y chinas más antiguas. En ese año, el matemático Chia Hsien lo define comoSistema de Tabulación para calcular coeficientes de binomios, dada la correspondencia que existe entre el Triángulo de Pascal y los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Ese fue el origen de diversos estudios sobre este triángulo en este parte del mundo, pero no fue hasta la segunda mitad del s. XVI que fue dado a conocer en Europa, con el matemático alemán Michael Stifel y su obra Arithmetica integra (1544).

Posteriormente, entre 1556 y 1560, el estudio de una disposición numérica similar aparece en las obras del matemático italiano Niccolo Fontana, también conocido como Tartaglia.

Blaise Pascal, el gran matemático, físico y filósofo francés, es el primero en relacionar rigurosamente el Teorema del Binomio con los números combinatorios, y publicó en 1665 un tratado en el cual deduce nuevas propiedades y aplicaciones del triángulo aritmético a la Teoría Combinatoria. En honor a sus aportes fue que el matemático escocés George Chrystal, en 1886, lo denomina Triángulo de Pascal en su obra Álgebra.

El Triángulo de Pascal y el número π (Pi)

Tomemos la diagonal de los números triangulares y pongamos a los impares a sumar y a los pares a restar, es decir 1+3-6-10+15... y así. Ahora reemplazamos cada número con su inverso, es decir (1/1)+(1/3)-(1/6)-(1/10)+(1/15)... y así, luego esa suma infinita más 2 es igual a Pi.

[C++] Coeficientes binomiales | Triángulo de Pascal

A continuación para los amantes del Dev C++ dejamos un vídeo que muestra el código de como realizar el Triángulo de Pascal utilizando los coeficientes binomiales.

Triángulo de Pascal vs Triángulo de Sierpinski

¿Qué relación tienen los dos triángulos? 

El triángulo de Sierpinski es un fractal que se construye a partir de un triángulo cualquiera. Si unimos los puntos medios de cada lado obtenemos un triangulo dividido en cuatro triángulos. Luego eliminamos el triangulo central de color blanco; y a partir de eso repetimos el proceso con los otros tres triángulos de color negro y así de manera indefinida. 

El resultado es una figura con la cualidad de que una pequeña parte de ella es igual a la totalidad de la figura.

Proceso del triángulo.

Ahora si nos fijamos en el triángulo de Pascal y eliminamos los números pares, el triángulo cumple el mismo patrón que el triángulo de Sierpinski.

Números Poligonales

Las primeras diagonales de la izquierda y la derecha son nada mas que unos. Las segundas forman la sucesión de números naturales.

                        Primeras diagonales.                                                                     Segundas diagonales.                

En la tercera diagonal aparecen los números triangulares, son aquellos que pueden recomponerse en un triángulo equilátero.

Los números cuadrados se encuentra en el triángulo de Pascal recurriendo a la misma diagonal que en el caso anterior: construimos cada uno sumando dos números triangulares consecutivos. Eso nos proporciona: 1, 4, 9, 16, 25, ...

                               Números triangulares.                                             Números cuadrados:1+3=4, 3+6=9, 6+10=16 ...